第15节 检验的优良性

检验的优良性

1 Neyman-Pearson引理

定义：最优势检验

• 声明
  $$
  检验问题:H_0:\theta=\theta_0,H_1:\theta=\theta_1
  $$
• 条件
  $$
  存在检验水平\alpha的检验函数\varphi^\in\varPhi_\alpha,\
  任一水平为\alpha的检验\varphi\in\varPhi_\alpha,有：\
  E_{\theta_1}(\varphi^(x))\geq E_{\theta_1}(\varphi(x))成立\
  $$
• 结论
  $$
  成检验函数\varphi^*为假设检验的水平为\alpha的最优势检验。(MPT)
  $$

定理：Neyman-Pearson基本引理

• 声明
  $$
  检验水平\alpha，检验函数\varphi(x),\varphi\in\varPhi_\alpha
  $$
• 条件
  $$
  \varphi(x)=\begin{cases}
  1,\lambda(x)>k\
  0,\lambda(x)<k
  \end{cases}\
  E_{\theta_0}(\varphi(x))=\alpha\
  检验函数\varphi(x)是检验水平为\alpha的最优势检验\
  似然比统计量\lambda(x)=\frac{p(x;\theta_1)}{p(x;\theta_1)}\
  $$
• 结论
  $$
  存在常数k\geq0使得检验函数满足：\
  \varphi(x)=\begin{cases}
  1,\lambda(x)>k\
  0,\lambda(x)<k
  \end{cases}\
  如果E_{\theta_1}(\varphi(x))<1,则\varphi(x)满足：\
  E_{\theta_0}(\varphi(x))=\alpha\
  $$

2 一致最优势检验

定义：一致最优势检验

• 条件
  $$
  检验水平\alpha的检验函数\varphi^*\in\Theta_\alpha\
  对任意水平\alpha的检验函数\varphi满足不等式：\

E_{\theta}(\varphi^*(x))\geq E_\theta(\varphi(x))
$$

• 结论
  $$
  则称\varphi^*(x)为水平为\alpha的一致最优势检验，记为UMPT。
  $$

一致最优势检验将参数的范围从$\theta_1$扩大到了$\theta$。如果最优势检验，不依赖于备择假设的参数，则可扩大备择假设，并由最优势检验获得一致最优势检验。扩大了NP引理。

定理：一致最优势检验存在定理

• 声明
  $$
  样本(x_1,\dotsm,x_n)\
  联合分布函数p(x;\theta)
  $$
• 条件
  $$
  p(x;\theta)=d(\theta)h(x)exp{c(\theta)T(x)}\
  \theta是实值函数,c(\theta)是关于\theta严格单调增函数\
  单侧假设检验H_0:\theta\leq\theta_0,H_1:\theta>\theta_0
  $$
• 结论1
  $$
  水平为\alpha 的一致最优势检验存在\
  检验函数为：
  \varphi^(x)=\begin{cases}
  1, T(x)>c\
  r,T(x)=c\
  0,T(x)<c
  \end{cases}\
  常数c,r\in[0,1],E_{\theta_0}(\varphi^(x))=\alpha
  $$
• 结论2
  $$
  水平为\alpha的一致最优势函数\varphi^(x)的势函数E_{\theta_0}(\varphi^(x))是\theta的单调递增函数。
  $$
• 结论3
  $$
  c(\theta)单调递减，可以添加符号。\
  H_0:\theta=\theta_0,H_1:\theta>\theta_0结论成立\
  H_0:\theta=\theta_0,H_1:\theta<\theta_0修改检验符号\
  H_0:\theta\geq\theta_0,H_1:\theta<\theta_0修改检验符号\
  $$

定理：双侧一致最优势检验存在定理

• 声明
  $$
  样本(x_1,\dotsm,x_n)\
  联合分布函数p(x;\theta)
  $$

• 条件
  $$
  p(x;\theta)=d(\theta)h(x)exp{c(\theta)T(x)}\
  \theta是实值函数,c(\theta)是关于\theta严格单调增函数\
  双侧假设检验H_0:\theta\leq\theta_1,或\theta\geq\theta_2,H_1:\theta_1<\theta>\theta_2
  $$

• 结论
  $$
  水平为\alpha 的一致最优势检验存在\
  检验函数为：
  \varphi^(x)=\begin{cases}
  1, c_1<T(x)<c_2\
  r_i,T(x)=c_i,i=1,2\
  0,T(x)<c_1或T(x)>c_2
  \end{cases}\
  常数c,r\in[0,1],E_{\theta_1}(\varphi^(x))=\alpha,E_{\theta_2}(\varphi^*(x))=\alpha
  $$

3 一致最优势无偏检验

定义：无偏检验

• 声明
  $$
  检验类型：H_0:\theta=\Theta_0,H_1:\theta\in\Theta_1
  $$
• 条件
  $$
  势函数g_\varphi(\theta)=E_\theta(\varphi(x))满足：
  \begin{cases}
  g_\varphi(\theta)\leq\alpha,\theta\in\Theta_0\
  g_\varphi(\theta)\geq\alpha,\theta\in\Theta_1
  \end{cases}
  $$
• 结论

$$
\varphi(x)是水平为\alpha的一致最优势检验就一定是无偏检验。
$$

定义：一致最优势无偏检验

• 声明

$$
检验类型：H_0:\theta=\Theta_0,H_1:\theta\in\Theta_1
$$

• 条件

$$
存在检验水平为\alpha的无偏检验函数\varphi^(x)\
使得任意水平\alpha任意的\theta的无偏检验函数满足不等式:\
E_{\theta}(\varphi^(x))\geq E_\theta(\varphi(x))

$$

• 结论
  $$
  称检验函数\varphi^*为水平为\alpha的一直最优势无偏检验UMPUT
  $$

定理：一致最优势无偏检验存在定理

• 声明
  $$
  样本(x_1,\dotsm,x_n)\
  联合分布函数p(x;\theta)
  $$

• 条件
  $$
  p(x;\theta)=d(\theta)h(x)exp{c(\theta)T(x)}\
  \theta是实值函数,c(\theta)是关于\theta严格单调增函数\
  双侧假设检验H_0:\theta\leq\theta_1,或\theta\geq\theta_2,H_1:\theta_1<\theta>\theta_2
  $$

• 结论
  $$
  水平为\alpha 的一致最优势无偏检验存在\
  检验函数为：
  \varphi^(x)=\begin{cases}
  1, T(x)<c_1或T(x)>c_2\
  r_i,T(x)=c_i,i=1,2\
  0,c_1<T(x)<c_2
  \end{cases}\
  常数c,r\in[0,1],E_{\theta_1}(\varphi^(x))=\alpha,E_{\theta_2}(\varphi^*(x))=\alpha
  $$

定理：一致最优势无偏检验存在定理

• 声明
  $$
  样本(x_1,\dotsm,x_n)\
  联合分布函数p(x;\theta)
  $$

• 条件
  $$
  p(x;\theta)=d(\theta)h(x)exp{c(\theta)T(x)}\
  \theta是实值函数,c(\theta)是关于\theta严格单调增函数\
  双侧假设检验H_0:\theta=\theta_1,H_1:\theta\not =\theta_2
  $$

• 结论
  $$
  水平为\alpha 的一致最优势无偏检验存在\
  检验函数为：
  \varphi^(x)=\begin{cases}
  1, T(x)<c_1或T(x)>c_2\
  r_i,T(x)=c_i,i=1,2\
  0,c_1<T(x)<c_2
  \end{cases}\
  常数c,r\in[0,1],E_{\theta_1}(\varphi^(x))=\alpha,E_{\theta_2}(\varphi^*(x))=\alpha
  $$