正太总体参数的假设检验

一会单独复习这里

1 单个总体-方差已知-均值检验

假设检验类型

$$
\begin{aligned}
H_0:\mu=\mu_0,& H_1:\mu>\mu_0\
H_0:\mu\leq\mu_0,&H_1:\mu>\mu_0\
H_0:\mu=\mu_0,&H_1:\mu<\mu_0\
H_0:\mu\geq\mu_0,&H_1:\mu<\mu_0
\end{aligned}
$$

假设检验-z检验步骤

关于假设检验，需要使用样本统计量和临界值对应样本空间的接受域和拒绝域。

命题假设$H_0:\mu\in\Theta_0,H_1:\mu\in\Theta_1$
检验统计量$z=\frac{\overline{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$
根据检验水平计算拒绝域的临界值$\双侧检验W={(x_1,\dotsm,x_n:|z|\geq z_{1-\frac{\alpha}{2}}}\单侧检验W={(x_1,\dotsm,x_n:|z|\geq z_{1-\alpha}}\$
这里也可以根据样本的值，计算此时的$\alpha$的真实水平。
计算样本的检验统计量的值，与拒绝域的临界值对比。

单侧检验和双侧检验的区分在于，检验统计量不等式的构建或者说拒绝域不同。

2 单个总体-方差未知-均值检验

方差未知的时候，无法通过查表获得z检验的值，此时一半会这接给出样本的均值。

假设检验-z检验步骤

命题假设$H_0:\mu\in\Theta_0,H_1:\mu\in\Theta_1$
检验统计量$z=\frac{\overline{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$
根据检验水平计算拒绝域的临界值$\双侧检验W={(x_1,\dotsm,x_n:|z|\geq z_{1-\frac{\alpha}{2}}}\单侧检验W={(x_1,\dotsm,x_n:|z|\geq z_{1-\alpha}}\$
这里也可以根据样本的值，计算此时的$\alpha$的真实水平。
计算样本的检验统计量的值，与拒绝域的临界值对比。

3 单个总体-方差检验

不同的单侧假设问题
$$
\begin{aligned}
H_0:\sigma^2=\sigma^2_0,& H_1:\sigma^2>\sigma^2_0\
H_0:\sigma^2\leq\sigma^2_0,&H_1:\sigma^2>\sigma^2_0\
H_0:\sigma^2=\sigma^2_0,&H_1:\sigma^2<\sigma^2_0\
H_0:\sigma^2\geq\sigma^2_0,&H_1:\sigma^2<\sigma^2_0
\end{aligned}
$$

一半会直接鬼畜样本的方差，这样不需要通过检验统计量+样本的值计算各个方差。

假设检验$\chi^2$检验

命题假设$H_0:\sigma^2\in\Theta_0,H_1:\sigma^2\in\Theta_1$
检验统计量$\chi^2=\frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}$
根据检验水平计算拒绝域的临界值$\双侧检验W={(x_1,\dotsm,x_n:\chi^2\leq\chi^2_{\frac{\alpha}{2}}\cup\chi^2\geq \chi^2_{1-\frac{\alpha}{2}}}\$
计算样本的检验统计量的值，与拒绝域的临界值对比。

4 两个总体-均值相等

$$
H_0:\mu_1=\mu_2,H_1:\mu_1\not ={\mu_2}
$$
不同的单侧假设问题
$$
H_0:\mu_1=\mu_2,H_1:\mu_1>{\mu_2}\
H_0:\mu_1\leq\mu_2,H_1:\mu_1>{\mu_2}\
H_0:\mu_1=\mu_2,H_1:\mu_1<{\mu_2}\
H_0:\mu_1=\geq_2,H_1:\mu_1\not <{\mu_2}
$$

方差$\sigma_1^2,\sigma_2^2$已知

方差$\sigma_1^2,\sigma_2^2$未知，$\sigma_1^2=\sigma_2^2=\sigma^2$

方差$\sigma_1^2,\sigma_2^2$未知，$n_1=n_2=n$

方差$\sigma_1^2,\sigma_2^2$未知，$\sigma^2_1\not =\sigma_2^2,n_1\not = n_2$

5 两个总体-方差相等

$$
H_0:\sigma^2=\sigma^2_0,H_1:\sigma^2>\sigma^2_0\
$$
存在的单侧假设检验问题
$$
\begin{aligned}
H_0:\sigma^2\leq\sigma^2_0,&H_1:\sigma^2>\sigma^2_0\
H_0:\sigma^2=\sigma^2_0,&H_1:\sigma^2<\sigma^2_0\
H_0:\sigma^2\geq\sigma^2_0,&H_1:\sigma^2<\sigma^2_0
\end{aligned}
$$