Pearson检验

1 总体分布的$\chi^2$拟合检验

定理：Pearson定理

  • 条件
    $$
    样本容量n充分（n>=50),无论总体服从何种分布F_0(x)\
    \chi^2=\sum_{i=1}^k\frac{(f_i-np_i)^2}{np_i}\
    $$
  • 结论
    $$
    统计量\chi^2服从自由度为k-1的\chi^2分布
    $$

步骤

  1. 把实轴$(-\infin,+\infin)$分成k个互不相交的区间$A_i=(a_i,a_{i+1}],i=1,2,\dotsm,k$，其中$a_1,a_{k+1}$分别取$-\infin,+\infin$。区间划分视具体情况而定。
  2. 计算概率。计算$np_i$称为理论频数
    $$
    p_i = P{X\in A}=F_0(a_{i+1})-F_0(a_i),i=1,2,\dotsm,k\
    $$
  3. 计算样本观察值$x_1,\dotsm,x_n$落在区间$A_i$上的个数$f_i$，称为实际频数。
  4. 通过计算公式计算$\chi^2$的值
  5. 对于给定的显著性水平$\alpha$可得临界值$\chi^2_{1-\alpha}(k-1)$
  6. 做出推断。拒绝域$W={(x_1,\dotsm,x_n):\chi^2 \geq\chi^2_{1-\alpha}(k-1)}$。当$\chi^2\in W$时拒绝$H_0$，否则接受$H_0$

2 二维列联表的独立检验