向量

7 向量运算

定义：向量内积

$$
x=(x_1,\cdots,x_n)^T\
y=(y_1,\cdots,y_n)^T\
[x,y]=x^Ty=x_1y_1+\cdots+x_ny_n
$$
[x,y]称为向量的内积。

性质：向量内积

  1. $[x,y]=[y,x]$
  2. $\lambda[x,y]=[\lambda x,y]$
  3. $[x+y,z]=[x,z]+[y,z]$
  4. $x=\overrightarrow{0},=>[x,x]=0\x \not =\overrightarrow{0},=>[x,x]\not =0$
  5. 施瓦茨不等式：$[x,y]^2\geq [x,x]+[y,y]$

定义：向量长度（范数）

$$
||x||=\sqrt{[x,x]}=\sqrt{x_1^2+\cdots+x_n^2}
$$

性质：向量长度

  1. 非负性：$x=\overrightarrow{0},=>||x||=0\x \not =\overrightarrow{0},=>||x||\not =0$
  2. 齐次性：$||\lambda x||=\lambda ||x||$
  3. 三角不等式：$||x+y||\leq ||x||+||y||$

性质：向量内积的几何意义

  • 向量内积表示一个向量在另一个向量上投影的积$[x,y]=||x||\cdot||y|| \cos \theta$
  • n维向量x,y的夹角：$\cos\theta = \frac{[x,y]}{||x||\cdot||y||}$

定义：正交向量

当n维向量x,y的夹角为90，即[x,y]=0时，称向量x,y正交

定理：线性无关向量与向量正交

若n为向量$a_1,a_2,\cdots,a_r$是一组两两正交的向量，则这组向量线性无关。

定义：规范正交基

  • 条件
    $$
    n维向量e_1,\cdots,e_r是向量空间V的一个基（线性无关）\
    e_1,\cdots,e_r两两正交\
    e_1,\cdots,e_r都是单位向量
    $$
  • 结论
    $$
    e_1,\cdots,e_r是向量空间V的一个规范正交基\
    由一组基得到一组规范正交基的过程称为规范正交化。
    $$

定理：施密特正交化（正交化、单位化）

  1. 正交化
    $$
    每次减去与前一项交叉的部分。\
    b_1 = a_1 \
    b_2 = a_2 - \frac{[a_2,b_1]}{[b_1,b_1]}b_1\
    \cdots\
    b_n = a_n - \frac{[a_n,b_{n-1}]}{[b_{n-1},b_{n-1}]}b_{n-1}
    $$
  2. 规范化
    $$
    e_1 = \frac{b_1}{||b_1||}\
    \cdots\
    e_n = \frac{b_n}{||b_n||}
    $$

定义：正交矩阵

$$
A^T\cdot A=E\
A\cdot A^T=E\
A^T=A^{-1}\
$$
则称A为正交矩阵。

性质：正交矩阵

  1. A的列向量与行向量都是单位向量，且两两正交。
  2. 若A为正交矩阵，则$A^{-1},A^T$都是正交矩阵，且$det A = |A|=1$
  3. 若A与B为正交阵，则AB也为正交阵。
  4. 若A是正交阵，则$A^{-1},A^*$都是正交阵。

定义：正交变换

若P为正交矩阵，则$y=Px$称为正交变换。

性质：正交变换

  • ||y||=||x||。正交变换保持长度不变。