1 多元正太分布的定义

定义1：密度函数

  • 条件

$$
\mu是p维向量,\
\Sigma是p\times p维协方差矩阵,\
x\sim N_p(\mu,\Sigma)
$$

  • 结论

$$
p(x)=(2\pi)^{-\frac{1}{2}}|\Sigma|^{-\frac{1}{2}}exp{-\frac{1}{2}(x-\mu)’\Sigma^{-1}(x-\mu)}
$$

定义2：特征函数

  • 结论

$$
\varphi(t)=E(e^{it’x})=exp{it’\mu-\frac{1}{2}t’\Sigma t}
$$

定义3：

  • 条件
    $$
    对任何非零向量a\in R^p\
    与向量x的线性组合a’x服从一元正太分布N(a’\mu,a’\Sigma a)\
    $$
  • 结论
    $$
    x服从p员正太分布N_p(\mu,\Sigma)
    $$

2 多元正太分布的性质

性质1：均值方差

  • 条件
    $$
    x\sim N_p(\mu,\Sigma)
    $$
  • 结论
    $$
    E(x)=\mu,Var(x)=\Sigma
    $$

性质2：线性变换

  • 条件
    $$
    y=Ax+b,\A_{m\times p}是任意非零常数矩阵,b_{m\times 1}是任意常数向量
    $$
  • 结论
    $$
    y\sim N_m(A\mu+b,A\Sigma A’)
    $$

性质3：分块正太

  • 条件
    $$
    x\sim N_p(\mu,\Sigma)\
    x=\begin{bmatrix}
    x_1 \
    x_2
    \end{bmatrix},
    \mu=\begin{bmatrix}
    \mu_1\ \mu_2
    \end{bmatrix},
    \Sigma=\begin{bmatrix}
    \Sigma_{11} &\Sigma_{12}\
    \Sigma_{21} &\Sigma_{22}\
    \end{bmatrix}
    $$
  • 结论
    $$
    能够分块的充要条件是\Sigma_{12}=0。也就是说，协方差矩阵等于零，两者独立。
    $$

性质4：协方差矩阵的秩

  • 条件
    $$
    x\sim N_p(\mu,\Sigma)\
    rank(\Sigma)=r
    $$
  • 结论
    $$
    充要条件：存在列满秩矩阵B(p\times r)使得x=By+\mu,\
    BB’=\Sigma,y\sim N_r(0,I_r)\
    $$

    能够由单位矩阵线性变换得到x

性质5：线性组合

  • 条件
    $$
    x_1,\cdots,x_k相互独立\
    x_i\sim N_p(\mu_i,\Sigma_i)\
    m\times p阶非零常数矩阵A_1,\cdots,A_k
    $$
  • 结论
    $$
    \sum_{i=1}^kA_ix_i\sim N_m(\sum_{i=1}^kA_i\mu_i,\sum_{i=1}^kA_i\Sigma_iA_i’)
    $$

性质6：$\chi^2变换$

  • 条件
    $$
    x\sim N_p(\mu,\Sigma),\Sigma>0
    $$
  • 结论

$$
(x-\mu)’\Sigma^{-1}(x-\mu)\sim\chi^2(p)
$$