多元正太总体的假设检验

1 协方差矩阵已知时均值向量的检验

似然比检验

  • 假设
    $$
    H_0:\mu=\mu_0,H_1:\mu\not ={\mu_0}
    $$
  • 似然比
    $$
    p(X;\mu)=(2\pi)^{-\frac{n}{2}}exp{-\frac{1}{2}tr{\Sigma^{-1}[S+n(\overline{x}-\mu)(\overline{x}-\mu)’]}}\
    \lambda(x)=\frac{sup_{\mu\in\Theta}{p(X;\mu)}}{sup_{\mu\in\Theta_0}{p(X;\mu)}}=exp{\frac{n}{2}(\overline{x}-\mu_0)’\Sigma^{-1}(\overline{x}-\mu_0)}\
    n(\overline{x}-\mu_0)’\Sigma^{-1}(\overline{x}-\mu_0)\sim \chi^2(p) 性质6作为检验统计量
    $$
  • 拒绝域

$$
W={(x_1,\cdots,x_n):\chi^2\geq\chi^2_{1-\alpha}(p)}
$$

2 协方差矩阵未知时均指向量的检验

似然比检验

  • 假设
    $$
    H_0:\mu=\mu_0,H_1:\mu\not ={\mu_0}
    $$

  • 似然比
    $$
    p(X;\mu,\Sigma)=(2\pi)^{-\frac{n}{2}}exp{-\frac{1}{2}tr{\Sigma^{-1}[S+n(\overline{x}-\mu)(\overline{x}-\mu)’]}}\
    \lambda(x)=\frac{sup_{\mu\in\Theta}{p(X;\mu)}}{sup_{\mu\in\Theta_0}{p(X;\mu)}}=(1+\frac{T^2}{n-1})^{\frac{n}{2}}\
    T^2=n(n-1)(\overline{x}-\mu_0)’S^{-1}(\overline{x}-\mu_0)\
    \Sigma=\frac{1}{n-1}S
    $$
    $T^2$是t分布在多元场合的推广，主要使用了S^2统计量代替了原来的协方差矩阵。

  • 拒绝域

$$
W={(x_1,\cdots,x_n):T^2\geq T^2_{1-\alpha}}
$$

定理：F分布检验

$$
F=\frac{n-p}{p(n-1)}T^2\sim F(p,n-p)
$$

3 两个正太总体均值相等的检验

协方差矩阵已知-假设检验

  • 假设
    $$
    H_0:\mu_1=\mu_2,H_1:\mu_1\not ={\mu_2}
    $$

  • 检验统计量
    $$
    \chi^2=\frac{n_1n_2}{n_1+n_2}(\overline{x}-\overline{y})’\Sigma(\overline{x}-\overline{y})\sim \chi^2(p)
    $$

  • 拒绝域

$$
W={(x_1,\cdots,x_{n_1},y_1,\cdots,y_{n_2}):\chi^2\geq \chi^2_{1-\alpha}(p)}
$$

协方差矩阵未知-假设检验

  • 假设
    $$
    H_0:\mu_1=\mu_2,H_1:\mu_1\not ={\mu_2}
    $$
  • 检验统计量
    $$
    T^2=\frac{n_1n_2}{n_1+n_2}(\overline{x}-\overline{y})’\hat{\Sigma}^{-1}(\overline{x}-\overline{y})\
    \frac{n_1+n_2-p-1}{p(n_1+n_2-2)}T^2\sim F(p,n_1+n_2-p-1)
    $$
    协方差矩阵未知时，使用统计量进行表示。
  • 拒绝域

$$
W={(x_1,\cdots,x_{n_1},y_1,\cdots,y_{n_2}):T^2\geq T^2_{1-\alpha}}
$$